FFT onda quadra
\(\DeclareMathOperator{\sinc}{sinc}\)
\(\DeclareMathOperator{\rect}{rect}\)
Lo scopo di questa pagine è quello di relazionare un segnale periodico ad onda quadra con il suo spettro. Si vuole dimostrare che la prima componente della trasformata di Fourier ha una frequenza pari a quella del segnale di partenza.
Si consideri un segnale:
la sua trasformata di Fourier è:
\[ X(f) = b \sinc (af)\exp(j2\pi f t_0) = b {\sin{\pi af}\over {\pi af}} \exp(j2\pi f t_0)\]
Nel grafico sopra, la curva rossa individua un \(y=\sinc(x)\), mentre la curva blu è un \(y=\sinc(2x)\). Quest’ultima curva infatti ha il primo zero in \(1/a\).
Costruiamo ora il segnale periodico \(y(t)\) a partire da \(x(t)\) (imponiamo per semplicità t0=0 e b=1):
\begin{equation} y(t)=x(t)*\delta_T(t) \\ y(t)=\rect \left( {t\over a} \right) \times \sum_k \delta(t-kT) \\ Y(f)={a \over T} \sum_{k=-\infty}^\infty \sinc (af) \delta \left( f – {k\over T} \right) \end{equation}
L’ultima equazione deve essere interpretata come il campionamento del \(\sinc(f)\) a intervalli \(f=k/T\). Il termine che moltiplica la delta sono proprio i coefficienti della serie di Fourier.
Proviamo ad applicare questi risultati ad un’onda quadra di frequenza 80 Hz e di ampiezza 1 con un duty cicle del 50%:
\begin{equation} y(t)=\rect ( 160t ) \times \sum_k \delta\left(t-{k \over 80} \right) \\ Y(f)={1 \over 2} \sum_{k=-\infty}^\infty \sinc \left({1\over 160} f \right) \ \delta ( f – 80 k ) \\ y(t)={1 \over 2} + \sum_{k=-1}^\infty \sinc \left({1\over 2} k \right) \ \cos (2\pi k 80 t) \end{equation}
Il passaggio dalla seconda equazione alla terza può essere spiegato osservando che è stata effettuata l’antitrasformata, estratta la componente continua e dato che la funzione \(sinc(f)\) è pari, è possibile fare partire \(k\) da 1 effettuando il raccoglimento dei coefficienti della serie in modulo uguali, infatti:
\[ \mathscr F [A \cos (2\pi f_0 t) ]= {A \over 2} [\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)] \]
La figura mostra la somma di diverse componenti:
- La curva rossa identifica la prima componente (alla frequenza di 80 Hz) sommata alla componente continua;
- la curva nera è la somma delle prime 10 armoniche (multipli di 80 Hz) e la componente continua;
- la curva blu è la somma delle prima 50 armoniche e la componete continua.
Nell’esempio seguente invece consideriamo un’onda quadra alla frequenza di 80 Hz, ampiezza 1, ma duty cicle del 75%.
I colori hanno lo stesso significato del grafico precedente.
Con lo stesso procedimento evidenziato prima, è possibile esprimere la serie di Fourier come:
\[ y(t) = {3 \over 4} + 2 {3 \over 4} \sum_{k=-1}^\infty \sinc \left({3\over 4} k \right) \cos (2\pi k 80 t) \]
Bibliografia
- J. G. Proakis; D. G. Manolakis, “Digital Signal Processing”, Prentice-Hall, pag. 232-235.