Analisi in frequenza di un circuito non lineare

L’articolo ha lo scopo di mostrare come linearizzare un sistema non lineare  per determinare la funzione di trasferimento (F.d.T.) tra ingresso \(Vout\) e  uscita \(Iout\). Lo schema elettrico da analizzare è una parte della rete di  feedback di un alimentatore switching, in particolare della rete dedicata  alla trasformazione della tensione di uscita in una corrente proporzionale  che scorre attraverso l’optoisolatore. Lo schema seguente mostra il  circuito:

L’integrato usato è (TL431) un riferimento di tensione programmabile,  ampiamente diffuso sul mercato e disponibile in diversi package, anche  molto piccoli ed economici. Al suo interno è presente un riferimento di  tensione fisso, un amplificatore operazione ed un transistor di potenza in  grado di prelevare fino a 100 mA. Come il simbolo evidenzia è assimilabile  ad uno zener programmabile molto preciso. Proprio questo integrato sarà  oggetto della linearizzazione, sostituito dal suo modello per piccoli  segnali e calcolata la FdT tra Iout e Vout. Per ulteriori dettagli è  possibile consultare il datasheet fornito dalla casa costruttrice, ad  esempio quello prodotto dalla STMicroelectronics.

a figura mostra la rete linearizzata dove il TL431 è stato sostituito dal  suo modello per piccoli segnali. L’integrato può essere assimilato ad un  generatore comandato di tensione, controllato dalla tensione Vref.  L’impedenza del generatore, da collegare tra Vb ed E, è stata trascurata  perchè molto piccola, circa 22 mOhm, come dichirato nel datasheet. La FdT  A(s) si può trovare sul datasheet del chip in formato grafico. La rete può  essere risolta osservando che

\begin{equation} E=A(s)V_{ref} \end{equation}

\begin{equation} I_{out}={(V_{out}-E) \over R} \end{equation}

\begin{equation} Z_{eq}=R_3 + XC_1 \end{equation}

dove \(XC_1\) è l’impedenza della capacità C1 trasformata secondo Laplace: \(XC_1 =  1/sC_1\). Imponendo l’ugualianza delle corrente entranti ed uscenti dal nodo Vref, si ottiene l’ultima equazione necessaria:

\begin{equation} {V_{out}-V_{ref} \over R_1} = {V_{ref} \over R_2} + {V_{ref} – E \over Z_{eq}} \end{equation}

Dopo qualche passaggio e affettuando le approssimazioni \(1-A(s)=-A(s)\) e \(1/R_1+1/R_2 << A(s)/Z_{eq} \) giustificata dall’alto guadagno in continua del TL431, si arriva alla  soluzione:

\begin{equation} {I_{out} \over V_{out}} = {1\over R_4} {1+sC_1(R_1+R_3) \over {sC_1R_1}} \end{equation}

dove \(s\) è la variabile frequenziale della trasformata di Laplace.

Nel caso che \(R_3\) sia nulla, allora la f.d.t è la \((5)\) ponendo \(R_3=0\).

Lo stesso circuito può essere risolto in modo più elegante ricorrendo al  teorema di Miller. Brevemente quest’ultimo afferma che dati due nodi \(1\) e \(2\)  con tensioni \(V_1\) e \(V_2\), e collegati da una impedenza \(Z\), è possibile  sostituire \(Z\) con due reti opportune \(Z_1\) e \(Z_2\) collegate tra \(1\) e \(gnd\) e \(2\) e \(gnd\). Lo schema elettrico risultante è mostrato di seguito:

Dal teorema di Miller (\(Y\) è l’ammettenza, \(Y = 1/Z\)):

\begin{align} Y_1=Y(1-k),   Y_2=Y(1-1/k),   k=V_2/V_1 \end{align}

Nel caso in esame:

\begin{align} k=1/A(s),  Z_1={{1+sC_1R_3} \over {sC_1}},   Z_2=-{1 \over A(s)} {{1+sC_1R_3} \over {sC_1}} \end{align}

Dopo alcuni passaggi e effettuando le approssimazioni

\begin{align} R_2 || Z_2 = Z_2,    V_{ref}= {Z_2 \over {Z_2+R_1}},    V_{out}={Z_2 \over R_1} \end{align}

si arriva alla stessa espressione indicata precedentemente.