Energia del condensatore e dell’induttore

L’articolo vuole mettere in evidenza una caratteristica dell’energia associata ai condensatori o induttori (bipoli elettrici).
In via generale, la potenza è la variazione di energia nell’unità di tempo:

\begin{equation} p(t)={de(t) \over dt} \end{equation}
quindi passando alla forma integrale:
\begin{equation} e(t)=\int p(t)\,dt \tag{2}\end{equation}
Per un bipolo elettrico, la potenza istantanea (p(t)) è definita come il prodotto tensione-corrente.
\begin{equation} p(t)=v(t)i(t) \tag{3}\end{equation}
Dopo questa breve introduzione, possiamo ora derivare l’energia dell’induttore partendo della ((2))

INDUTTORE

L’equazione caratteristica di un induttore è:

\begin{equation} v(t)=L{di(t) \over dt} \tag{4}\end{equation}

Sostituendo la \((4)\) nella \((3)\) e poi nella \((2)\) si ottiene\({}^{[1]}\).

\begin{align} E=&\int_{t_0}^{t_1} Li(t){di(t) \over dt}\,dt \\ &={1 \over 2}L\int_{t_0}^{t_1} 2i(t){di(t) \over dt}\,dt ={1 \over 2}L\int_{t_0}^{t_1} {di^2(t) \over dt}\,dt \\ &= {1 \over 2}Li^2(t_1)-{1 \over 2}Li^2(t_0) \end{align}

se l’istante iniziale di integrazione è \(0\), allora si ottiene la nota relazione

\begin{equation} E={1 \over 2}LI^2 \tag{8}\end{equation}

con \(I\) uguale al valore di corrente che passa nel’induttore nell’istante di interesse.

CONDENSATORE

L’equazione caratteristica di un condensatore è:

\begin{equation} i(t)=C{dv(t) \over dt} \tag{9}\end{equation}

Sostituendo la \((9)\) nella \((3)\) e poi nella \((2)\) si ottiene\({}^{[1]}\).

\begin{align} E=&\int_{t_0}^{t_1} Cv(t){dv(t) \over dt}\,dt \\ &={1 \over 2}C\int_{t_0}^{t_1} 2v(t){dv(t) \over dt}\,dt ={1 \over 2}C\int_{t_0}^{t_1} {dv^2(t) \over dt}\,dt \\ &= {1 \over 2}Cv^2(t_1)-{1 \over 2}Cv^2(t_0) \end{align}

se l’istante iniziale di integrazione è \(0\), allora si ottiene la nota relazione

\begin{equation} E={1 \over 2}CV^2 \tag{13}\end{equation}

con \(V\) uguale al valore di tensione applicata al condensatore nell’istante di interesse.

CONCLUSIONI

La diretta conseguenza delle due equazioni ricavate sopra \((8)\) e \((13)\) è che l’energia associata ad un induttore o un condensatore ideale non è legata alla forma della corrente o della tensione applicata rispettivamente, ma solo al valore di corrente o tensione nell’istante di valutazione.

\({}^{[1]}\). Teorema Fondamentale del calcolo integrale:

sia \(f(x)={dF(x) \over dx}\) allora \(\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b {dF(x) \over dx}\,dx=F(b)-F(a)\).