Partitore capacitivo
Per iniziare consideriamo il generatore di tensione spento, quindi troviamo i due condensatori in parallelo e con il verso delle tensioni indicati in figura. Consideriamo anche i due condensatori scarichi, quindi Vc2=0 all’inizio e la carica immagazzinata nei due condensatori è nulla (Q-=0). Idealmente accendiamo V1 con la polarità indicata in figura e proviamo a calcolare la nuova tensione ai capi di C2. Per fare questo sfruttiamo il principio della conservazione della carica applicato al nodo A cioè la carica Q- immagazzinata nel nodo all’istante precedente dell’accensione di V1 deve essere uguale alla carica Q+, la carica immagazzinata in A all’istante successivo. Con la convenzione dei versi di tensioni e correnti possiamo affermare che la carica accumulata sull’armatura di C1 collegata ad A vale in modulo C1*Vc1, ma ha polarità negativa; mentre la carica accumulata in C2 sempre sull’armatura collegata ad A vale C2*Vc2 con polarità positiva. La somma deve essere effettuata rispettando i segni sottolineati prima:
$$Q_-=0$$
$$Q_+=-C_1Vc_1+C_2Vc_2=C_1(Vc_2-V_1)+C_2Vc_2$$
Uguagliando le due espressioni otteniamo:
\begin{equation} \begin{cases} C_1(Vc_2-V_1)+C_2 Vc_2 = 0 \\ V_1C_1=Vc_2(C_1+C_2) \\ Vc_2={C_1 \over {(C_1+C_2)V_1}} \end{cases} \end{equation}
Questa ultima espressione è il partitore capacito e la somiglianza con quello resistivo è evidente. Per essere più precisi, la vera similitudine è con un partitore resistivo di corrente.
Ci poniamo ora il problema di calcolare il valore di \(Vc_2\) nel caso però che siano presenti contemporaneamente sia \(V_1\) e che le condizioni iniziali dei due condensatori non siano nulle (indicate con \(Vc_{1i}\) e \(Vc_{2i}\) .
Data la linearità del sistema possiamo pensare di applicare il principio di sovrapposizione degli effetti e considerare tre diversi effetti: il generatore di tensione indipendente e le due condizioni iniziali. Ricalcando la trattazione svolta prima per il generatore \(V_1\), possiamo affermare che:
\begin{equation} Vc_{2f} = {{C_1} \over {C_1+C_2}} (V_1+Vc_{1i}) + {{C_2} \over {C_1+C_2}} Vc_{2i} \end{equation}
dove \(Vc_{2f}\) indica la tensione del nodo A, ai capi di \(C_2\), all’istante successivo l’accensione del generatore. La dipendenza di \(Vc_{2f}\) da \(Vc_{1i}\) suggerisce che \(Vc_{1i}\) può essere pensata come un generatore di tensione da aggiungere a V1. Per quanto riguarda invece l’altro termine, eseguiamo passo per il principio di sovrapposizione degli effetti: per prima cosa spegniamo \(V_1\) e consideriamo \(C_1\) scarico; quindi immaginiamo di posizionare un generatore di tensione \(V_2\) di valore \(Vc_{2i}\) tra GND e l’armatura inferiore di \(C_2\). Eseguendo lo stesso ragionamento di prima, cioè la conservazione della carica al nodo A, otteniamo il risultato espresso.